ทฤษฏีบทพีทาโกรัส ที่ได้รับพิสูจน์ความถูกต้อง โดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีก ชื่อว่า พีทาโกรัส  เกี่ยวข้องกับรูปเรขาคณิต คือ รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (right-angled triangle)  โดยกล่าวว่าพื้นที่ของจตุรัสด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) จะมีค่าเท่ากับพื้นที่จัตุรัสของอีกสองด้านรวมกัน 

ความรู้พื้นฐานในการเรียน ทฤษฏีบทพีทาโกรัส ให้เข้าใจ ควรจะเรียนหรือทบทวนในเรื่องของ

  • เลขยกกำลัง
  • รากที่สองของจำนวน 
  • การแก้สมการ
  • พื้นฐานเรื่องมุม

คุณสมบัติพื้นฐนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี 3 ด้าน ด้านยาวที่สุด คือด้านตรงข้ามมุมฉาก (hypotenuse) 

hypos

ลองวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตรุรัส บนทุกด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก จากนั้น คำนวณหาค่าของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมจัตรุัสของแต่ละด้าน เมื่อนำเอาจำนวนของพื้นที่ ด้านประกอบมุมฉากมารวมกัน จะมีค่าเท่ากันพื้นที่ของด้านตรงข้ามมุมฉาก 

hypos area

นั้นก็คือ ทฤษฏีบทพีทาโกรัส นั้นเอง Equation: 25~text{cm}^text{2} = 9~text{cm}^text{2} + 16~text{cm}^text{2}

การทำโจทย์พีทาโกรัส ก็จะเกี่ยวข้องกับการกำหนดชื่อของด้านทั้งสามด้านให้ถูกต้อง โดยกำหนดให้เป็นด้าน a,b,c ตามลำดับ

จะได้สูตรในการหาความยาวด้านหรือพื้นที่ของแต่ละด้านได้เป็น  Equation: a^2 + b^2 = c^2

 

คำถาม

จากรูปจงหาความยาวของด้าน C โดยตอบให้มีทศนิยม 1 ตำแหน่ง

qpitagorus1

เฉลย

จากสูตร 

Equation: a^2 + b^2 = c^2

Equation: 7^2 + 10^2 = c^2

Equation: 149 = c^2

Equation: c = sqrt{149}

Equation: c = 12.2~text{cm}

การหาความยาวของด้านสั้น  

สูตร Equation: a^2 = c^2 - b^2 or Equation: b^2 = c^2 - a^2

ตัวอย่าง จงหาความยาวด้าน AB ที่เราไม่ทราบค่า 

py1

Equation: a^2 + b^2 = c^2

Equation: 8^2 + b^2 = 10^2

จัดเรียงสมการใหม่เพื่อให้  Equation: b^2 เป็นประธาน 

Equation: b^2 = 10^2 - 8^2

Equation: b^2 = 36

Equation: b = sqrt{36}

Equation: b = 6~text{cm}

คำถาม

จากรูปที่กำหนดให้ จงหาความยาวของด้าน AO ตอบทศนิยม 1 ตำแหน่ง 

a qp1

เฉลย

จากสูตรพีทาโกรัส 

Equation: a^2 + b^2 = c^2

Equation: 3^2 + b^2 = (sqrt{17})^2

เรียงสูตรใหม่ ให้ Equation: b^2 เป็นประธาน 

Equation: b^2 = (sqrt{17})^2 - 3^2

Equation: b^2 = 17 - 9

Equation: b^2 = 8

Equation: b = sqrt{8}

Equation: b = 2.8~text{cm}

การใช้ประโยชน์จากความรู้ พีทาโกรัส รู้แล้ว เอาไปใช้ประโยชน์ไม่เป็น ก็อย่ารู้ดีกว่า ...

การพิสูจน์ว่า รูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้เป็น สามเหลี่ยมมุมฉาก หรือไม่ 

กรณีที่มุมฉากอาจจะมองไม่ออก เพราะองศาอาจจะเอียงนิดหน่อย น้อยกว่า 90 องศา เป็นจุดทศนิยม หรือ เพียง 1 หน่วย 

ยกตัวอย่างเช่น 

จากรูป 3 เหลี่ยมที่กำหนดให้ จงพิสูจน์ว่าเป็นรูป สามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่? 

 

a90 tri

ก็เล่นไม่ยากเลย

จากสูตร พีทาโกรัส ที่เรียนกันมา 

Equation: a^2 + b^2 = c^2

Equation: 5^2 + 6^2 = c^2

Equation: 61 = c^2

ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว  8 

Equation: 8^2 = 64

ค่าที่ได้ไม่เท่ากัน สามเหลี่ยมรูปนี้จึงไม่ใช่ สามเหลี่ยมมุมฉาก 

คำถาม

จากรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดให้ จงพิสูจน์ว่าเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม่

a90 tri2

เฉลย

จากสูตรพีทาโกรัส 

Equation: a^2 + b^2 = c^2

Equation: 5^2 + 12^2 = c^2

Equation: 169 = c^2

ด้านตรงข้ามมุมฉากยาว 13 

Equation: 13^2 = 169

ค่าเท่ากัน ดังนั้นรูปนี้เป็น 3 เหลี่ยมมุมฉาก 

การใช้ประโชน์จากความรู้พีทาโกรัส ในการหาค่าความยาวของเส้นตรง Line Secment 

ยกตัวอย่างเช่น จากรูป จงหาความยาวด้าน  AB.

จุด A  (3,2).

จุด  B (11,8).

a90 tri3

การทำก็ไม่ยาก ใช่ไหม เริ่มจากลากเส้นตรง เชื่อมโยงจุดตัด AB ก่อน 

จากนั้น ก็ลากเส้นตรงเพิ่มอีกสองด้าน เพื่อให้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามภาพ 

a90 tri4

พอได้รูปสามเหลี่ยมมุมฉากมาแล้ว ก็ใช้สูตร

Equation: a^2 + b^2 = c^2

Equation: 6^2 + 8^2 = text{AB}^2

Equation: 100 = text{AB}^2

ความยาวด้าน AB คือ 10 

ตัวอย่างการนำความรู้ไปใช้งานในชีวิตประจำัน ที่เกี่ยวข้องกับการหาความยาวด้านที่ไม่ทราบค่าของ สามเหลี่ยมมุมฉาก 

a90 tri5

จากรูปที่กำหนด จงค่าความยาวด้าน UQ ตอบมีทศนิยม 1 ตำแหน่ง 

เริ่มจากตัดแบ่งรูป 3 เหลี่ยมมุมฉากยกออกมาโดดๆ ก่อน 

a90 tri6

สูตรมา 

Equation: a^2 + b^2 = c^2

Equation: 4^2 + 10^2 = c^2

Equation: 116 = c^2

Equation: c = sqrt{116}

Equation: c = 10.8~text{cm}

ความยาวด้าน UQ เท่ากับ  10.8 cm.

ตัวอย่างแสดงการใช้ ทฤษฏีบทพีทาโกรัสมากกว่า 1 ครั้งในการแก้ปัญหา ดูภาพประกอบ 

a90 tri7

ขั้นแรกมองภาพให้ออก ตัดภาพยกออกมาก่อน 1 ภาพ ดูรูปประกอบ

a90 tri8

คำนวณหาความยาวด้านที่ไม่ทราบค่าของรูปนี้ก่อน 

จากสูตร 

Equation: a^2 + b^2 = c^2

Equation: 3^2 + b^2 = 7^2

ปรับเรียงสูตรใหม่ให้  Equation: b^2 tเป็นประธาน 

Equation: b^2 = 7^2 - 3^2

Equation: b^2 = 40

Equation: b = sqrt{40}

ั้นต่อมา ดูภาพรมของรูปอีกครั้ง 

a90 tri9

สูตรมา 

Equation: a^2 + b^2 = c^2

Equation: (sqrt{40})^2 + 6^2 = s^2

Equation: s^2 = 76

Equation: s = sqrt{76}

ตอบ Equation: s = 8.7~text{cm}

 

การใช้ ทฤษฏีบทพีทาโกรัส ในการแก้ปัญหารูปสามมิติ กว้าง * ยาว * สูง

ซึ่งต้องมองรูป 3 มิติ กลับมาเป็น 2 มิติ และ อาจจะต้องใช้สูตร ทฤษฏีบทพีทาโกรัส มากกว่า 1 ครั้งในการคำนวณ  แน่นอนว่า ก็ต้องเกี่ยวข้องกับรูป 3 เหลี่ยมมุมฉาก 

ยกตัวอย่าง เช่น 

จากรูป  ABCDEFGH 

ความยาวด้าน AB มีค่า  6 cm, ด้าน  BG คือ  3 cm และด้าน  FG เป็น  2 cm

จงคำนณหาความยาวด้าน  AF 

3d py1

ขั้นแรก มองรูป 3 เหลี่ยมใหออก แล้วตัดยกออกมาก่อน เป็น AFC ตามภาพ 

3d py2

โดยที่เราไม่ทราบค่าควาามยาวด้าน AC ซึ่งจะหาคำตอบไม่ได้ จึงต้องใช้ตัวช่วย จากภาพแรก ก่อน 

มองภาพให้ออก แล้วตัดภาพยกออกมา จะเป็นภาพๆ นี้ครับ 

3d py3

จากสูตรพีทาโกรัส และแทนค่าในสูตรตามความยาวด้านที่กำหนด

Equation: a^2 + b^2 = c^2

Equation: text{BC}^2 + text{AB}^2 = text{AC}^2

Equation: 2^2 + 6^2 = c^2

Equation: 40 = c^2

Equation: c = sqrt{40}

พอได้ค่าของด้านยาว AC แล้ว ก็สามารถนำไปใส่ประกอบด้าน และคำนวณหาค่าด้านที่เหลือต่อไป 

3d py4

จากสูตรและแทนค่า ตามสูตรเลย 

Equation: a^2 + b^2 = c^2

Equation: text{FC}^2 + text{AC}^2 = text{AF}^2

Equation: 3^2 + (sqrt{40})^2 = c^2

Equation: 49 = c^2

Equation: c = 7~text{cm}

ความยาวด้าน  AF = 7 cm

คำถาม

จากรูปพีรามิดฐานจัตุรัส  ABCDV มี  O  เป็นจุดศูนย์กลางของ 4 เหลี่ยมจัตุรัส  ABCD.

ความยาวของด้าน  AD, DC, BC และ  AB คือ  4 cm.

ความสูงตั้งฉากของ (OV) คือ  3 cm.

จงหาความยาวด้าน AV. โดยให้คำตอบมีทศนิยม 1 ตำแหน่ง 

3d py5

เฉลย

ขั้นแรก พยายามมองภาพ ให้ออก และตัดยกออกมาเป็นรูป 3 เหลี่ยมมุมฉาก AOV ให้ได้ 

3d py6

จากรูป 3 เหลี่ยมมุมฉาก เราไม่ทราบค่าด้าน AV

ซึ่งเราจะหาค่า AV ได้ จะต้องรู้ค่า AO ก่อน โดยการมองกลับไปที่ภาพแรกสุด ตัดยกออกมาเพิ่มอีก 1 รูป ดังภาพ 

โดยกำหนดค่ามุมเป็น ACD

 

3d py7

จากสูตร 

Equation: a^2 + b^2 = c^2

Equation: text{CD}^2 + text{AD}^2 = text{AC}^2

Equation: 4^2 + 4^2 = c^2

Equation: 3^2 = c^2

Equation: c = sqrt{32}

Equation: sqrt{32}  ให้ติดค่ารูทไว้ก่อน 

ความยาวด้าน AC คือ  Equation: sqrt{32} cm.

โดยที่จุดศูนย์กลาง O ความยาวด้าน  AC,ดังนั้น OA  คือความยาวเป็นครึ่งหนึ่งของ ความยาว AC.

ความยาวด้าน OA คือ  Equation: frac{sqrt{32}}{2} cm.

 

 เมื่อทราบค่าความยาวด้าน OA  แล้ว ก็ทำต่อได้เลย 

3d py8

จากสูตรเดิม 

Equation: a^2 + b^2 = c^2

Equation: text{OV}^2 + text{OA}^2 = text{AV}^2

Equation: 3^2 + (frac{sqrt{32}}{2})^2 = c^2

Equation: 17 = c^2

Equation: c = sqrt{17}

ความยาวด้าน AV = 4.1 cm  

แบบทดสอบพื้นฐานพีทาโกรัส 10 ข้อ 

อ้างอิง :http://www.bbc.co.uk/education/guides/zcfg4wx/revision/7

Credit:: http://www.bbc.co.uk/education/guides/zcfg4wx/revision/7