ก่อนที่เราจะเรียนเรื่องของ อัตราส่วน Trigonometric ratios ให้เข้าใจได้ง่ายขึ้น เราควรจะเรียนในเรื่องของ ทฤษฏีบทพิาโกรัส มาก่อนจะช่วยให้เรา มีพื้นฐาน ที่ง่ายในการทำความเข้าใจ อาจจะเรียกว่าเป็นบทต่อของ พีทาโกรัส ก็น่าจะได้ (ความคิดส่วนตัว)

บทนิยาม 

อัตราส่วนตรีโกณมิติ จะเกี่ยวข้องกับการหาค่าของมุม และความยาวของด้านสามเหลี่ยมมุมฉาก 

เริ่มจากการเรียกชื่อของแต่ละด้านให้ถูกต้องก่อน เพราะถ้าเรียกไม่ถูกก็จะอ้างอิงไม่ถูก จะลำบากเอา และเรียนต่อไปไม่ไหวแน่ๆ 

ด้าน (h) จะเป็นด้านที่ยาวที่สุด ตรงข้ามมุมฉาก เรียกว่า Hypotenuse

ด้าน (o) ด้านตรงข้ามมุมที่ดำหนด หรือมองเข้ามา เรียกว่า opposite

ด้านประชิด (a) ด้านติดกับมุมฉาก เรียก่า Adjacent 

ภาษาไทย เวลาหาความรู้เพิ่มเติมจาก Youtube พบว่า ผู้สอนหรือติวเตอร์แนะนำว่า ให้ท่อง 3 ด้านนี้ให้ได้ เรียกว่า 

ข้าม opposite

ฉาก Hypotenuse

ชิด  adjacent 

 

 

 

trigonemetry

 

อัตราส่วนของตรีโกณมิติ Three trigonometric ratios

ตรีโกณมิติจะเกี่ยวข้องกับอัตราส่วนของด้านทั้งสามด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก (รูปสามเหลี่ยมที่มีมุมภายใน 1 มุมกาง 90 องศา) เรียกว่าค่ามุม   sine, cosine และ  tangent ซึ่งจะนิยมเขียนย่อในรูปของ  Equation: sinEquation: cos และ Equation: tan  อัตราส่วนทั้งสามด้านนั้น สามารถคำนวณหาค่าได้จากค่าของสองด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

Equation: sin{x} = frac{text{opposite}}{text{hypotenuse}}

Equation: cos{x} = frac{text{adjacent}}{text{hypotenuse}}

Equation: tan{x} = frac{text{opposite}}{text{adjacent}}

สูตรการจำ คือ SOHCAHTOA

การคำนวณค่ามุม 0°, 30°, 45°, 60° และ 90°

อัตราส่วนตรีโกณสามารถหาค่ามุม  30°, 45° และ  60° โดยการแบ่งรูปสามเหลี่ยมมุมฉากออกเป็นสองรูป ดังภาพประกอบ 

ตัวอย่างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า มีด้านยาว 2 cm สามารถใช้รูปนี้คำนวณหาอัตราส่วนค่ามุมตรีโกณมิติ ของมุม  30° และ  60°.

รูปสามเหลี่ยมด้านเท่า สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากได้ 2 รุปดังภาพ 

triangle

การคำนวณหาค่าความยาวของด้านที่ 3 ด้านที่เราไม่ทราบค่า สามารถหาได้จากสูตรพิทาโกรัส 

Equation: a^2 + b^2 = c^2

Equation: a^2 = c^2 - b^2

Equation: a^2 = 2^2 - 1^2

Equation: a^2 = 3

Equation: a = sqrt{3}

การใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติในการหาค่ามุม 30° และ 60°

sintable

รูปสี่เหลี่ยมจตุรัสที่มีด้านยาว 1 cm  สามารถใช้ในการคำนวณหาอัตราส่วนตรีโกณมิติของมุม 45° 

โดยการแบ่งรุปจัตุรัสออกเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก สองรูป  ตามภาพประกอบ 

tan45

หาความยาวด้านที่ไม่ทราบค่าจากสูตร พีทาโกรัส 

Equation: a^2 + b^2 = c^2

Equation: c^2 = 1^2 + 1^2

Equation: c = sqrt{2}

ใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติในการคำนวณหาค่ามุม 45°

trigone45

อัตราส่วนตรีโกณมิติของค่ามุม  0°, 30°, 45°, 60° และ  90° 

trigone0 90

Equation: tan{90} ยังไม่มีการกำหนดเพราะว่า   Equation: tan{90} = frac{1}{0}  และหารด้วย 0 จึงไม่มีค่ากำหนด 

 

 การคำนวณหาความยาวของด้าน 

ประโยชน์ของอัตราส่วตรีโกณมิติ คือใช้ในการคำนวณหาความยาวของด้าร สามเหลี่ยมมุมฉาก 

ยกตัวอย่าง 

จากรูปจงหาความยาวด้าน  AB โดยคำตอบให้มีทศนิยม 1 ตำแหน่ง 

triangle32

 

ขั้นแรกเลย ช่วยจำก่อน โดยกาทำ Label ด้านของสามเหลี่ยมให้ถูกต้องด้วยตัวย่อ  Equation: oEquation: a และ  Equation: h.

จากนั้นเลือกอัตราส่วนตรีโกณมิติให้ถูกต้องจากสูตร   Equation: s^o_h~c^a_h~t^o_a.

ความยาวด้าน  Equation: h  โจทย์กำหนดให้มาแล้ว  ส่วนด้าน  Equation: o ยังไม่ทราบก็ติดค่าตัวแปรไว้ก่อน 

แทนค่าจากสูตร  Equation: sin{x} = frac{o}{h}

Equation: sin{32} = frac{o}{8}

จากสมการ กำจัดตัวส่วนคือ 8 โดยการนำ 8 มาคูณทั้งสองข้างของสมการ จะได้ 

AB = Equation: 8 times sin{32}

AB = 4.2 cm

คำถาม

จากรูปจงหาความยาวด้าน YZ ตอบให้มีทศนิยม 1 ตำแหน่ง 

trigonemetry25

เฉลย

จากรูปขั้นแรกก้ทำการกำหนดอักษรของแต่ละด้านด้วยตัวย่อเป็นด้าน  Equation: oEquation: a และ  Equation: h.

เลือกอัตราส่วนในการคำนวณ จากสูตร  Equation: s^o_h~c^a_h~t^o_a.

ความยาวด้าน  Equation: a  เราทราบค่าแล้ว จึงต้องหาความยาวด้าน  Equation: h 

ก็จะใช้ : Equation: cos{x} = frac{a}{h}

Equation: cos{25} = frac{5}{text{YZ}}

เรียงมการใหม่เพื่อให้ด้าน YZ เป็นประธานของสมการ 

นำ  YZ ขึ้นไปคูณทั้ง 2 ข้างของสมการ .

Equation: text{YZ} times cos{25} = 5

นำ  Equation: cos{25} หารทั้งสองข้างสมการ 

YZ = Equation: frac{5}{cos{25}}

YZ = 5.5 cm

การคำนวณหาขนาดของมุม Calculating an angle

ความรู้เรื่องของอัตราส่วนตรีโกณมิติ สามารถนำไป ใช้ประโยชน์ในการคำนวณหาขนาดของมุม ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากได้ 

ตัวอย่าง 

trigone ration angle

จงคำนวณหาค่าของมุม  QPR ให้คำตอบมีทศนิยม 1 ตำแหน่ง 

ขั้นแรกก็ใส่ตัวอักษรกำกับด้านให้ถูกต้องก่อน  Equation: oEquation: a และ Equation: h 

เลือกอัตราส่วนตรีโกณมิติมาใช้งาน  Equation: s^o_h~c^a_h~t^o_a.

จากรูปเราทราบความยาวด้าน  Equation: o และ  Equation: a   

จะใช้ : Equation: tan{x} = frac{o}{a}

Equation: tan{x} = frac{5}{7}

Equation: tan{x} = 0.714285 dotsc.อย่าพึงตัดทศนิยม 

การหาค่าของมุมโดยใช้เครื่องคิดเลขที่มีปุ่มคำนวณค่ามุมตรีโกณมิติ   (Equation: tan^{-1})

Equation: x = 35.5^circ

คำถาม

 จงคำนวณหาค่าของมุม  KJL ให้คำตอบมีทศนิยม 1 ตำแหน่ง

trigone ration angle2

เฉลย

ใสตัวอักษรกำกับด้านก่อน  Equation: oEquation: a และ  Equation: h.

เลือกอัตราส่วนจาก  Equation: s^o_h~c^a_h~t^o_a.

ความยาวด้านที่รู้ค่าแล้ว คือ  Equation: a และ  Equation: h 

จะใช้ : Equation: cos{x} = frac{a}{h}

Equation: cos{x} = frac{4}{6}

Equation: cos{x} = 0. dot{3}. ไม่ต้องตัดทศนิยม 

ใช้ปุ่มคำนวณค่ามุมของเครื่องคิดเลข  (Equation: cos^{-1})

Equation: x = 48.2^circ

การหาค่ามุมก้มและมุมเงย Angles of elevation and depression

ถ้าเรายืนตรงและมองเงยหน้ามองวัตุที่อยู่สูงขึ้นไป เช่น บนต้นไม้ ยอดตึก หน้าผา  ค่าของมุมระหว่างวัตถุที่เรามองกับแนวระนาบสายตาปกติของเรา จะเกิดค่าของมุมที่เรียกว่ามุมเงย

elevation angle

 

กลับกัน ถ้าเราก้มมองไปทิศทางด้านล่าง ค่าของมุมที่เกิดขึ้น ก็จะเรียกว่า มุมก้ม depression 

depression angle

ยกตัวอย่าง 

สถาปนิกต้องการหาความสูงของตึก เขายืนอยู่ห่างจากฐานของตึกระยะทาง 50 มตร  และมองขึ้นไปที่ยอดมุมตึก  ถ้ามุมที่เกิดขึ้นจากตำแหน่งที่ยืนคือ  70° จงคำนวณหาความสูงของตึก โดยให้คำตอบมี 1 ทศนิยม 

trigone angle ed

ขั้นแรกสุด ก็ใส่อักษรกำกับแต่ละด้านให้ถูกต้อง  o,a และ h

ต่อมาเลือกอัตราส่วนที่ต้องการหาค่า จาก  Equation: s^o_h~c^a_h~t^o_a.

จากรูปสามเหลี่ยมเราทราบค่าของด้าน a ดังนั้นจึงต้องการหาค่าของด้าน o 

จึงใช้   Equation: tan{x} = frac{o}{a}

Equation: tan{70} = frac{z}{50}

แก้สมการให้เหลือ z โดยการนำ 50 มาคูณทั้งสองข้าง 

Equation: z = 50 times tan{70}

Equation: z = 137.4~text{m}

คำตอบคือ ตึกสูงประมาณ 137.4 เมตร 

คำถาม

หน้าผาแห่งหนึ่งสูงจากระดับน้ำ 72 เมตร ,เรือำหนึ่งจอดอยู่ในมุมก้ม 32°. จงหาระยะห่างของเรือจากหน้าผา โดยให้คำตอบเปนทศนิยม 1 ตำแหน่ง